Jaka jest moc tego numeru

• Powody

Proszę zauważyć, że ten rozdział dotyczy koncepcji stopnia tylko z naturalnym wskaźnikiem i zerem.

Pojęcie i własności stopni z racjonalnymi wykładnikami (z ujemnym i ułamkowym) zostaną omówione na lekcji dla klasy 8.

Rozumiem więc, jaka jest moc tego numeru. Aby zarejestrować sam produkt samego numeru, użyj kilkukrotnie notacji skróconej.

Zamiast iloczynu sześciu identycznych czynników 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 napiszą 4 6 i powiedzą "cztery do szóstego stopnia".

4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 6

Wyrażenie 4 6 nazywa się mocą liczby, gdzie:

• 4 - podstawa stopnia;
• 6 - wykładnik.

Ogólnie rzecz biorąc, stopień z podstawą "a" i indeksem "n" jest zapisywany za pomocą wyrażenia:

Stopień liczby "a" z naturalnym indeksem "n", większy niż 1, jest iloczynem równych współczynników "n", z których każdy jest równy liczbie "a".

Zapis "a n" brzmi tak: "ale do potęgi n" lub "n-tej potęgi liczby a".

Wyjątki są zapisami:

• a 2 - może być wymawiane jako "kwadrat";
• a 3 - może być wymawiane jako "ale w sześcianie".

Oczywiście powyższe wyrażenia można odczytać w celu określenia stopnia:

• a 2 - "oraz w drugim stopniu";
• 3 - "i na trzecim stopniu".

Przypadki szczególne występują, gdy wykładnik wynosi jeden lub zero (n = 1; n = 0).

Stopień liczby "a" z indeksem n = 1 to sama liczba:
a 1 = a

Każda liczba w zerowym stopniu to jeden.
a 0 = 1

Zero w jakimkolwiek naturalnym stopniu wynosi zero.
0 n = 0

Jednostka w jakimkolwiek stopniu jest równa 1.
1 n = 1

Wyrażenie 0 0 (zero do zera) jest uważane za bez znaczenia.

Rozwijając przykłady, należy pamiętać, że podniesienie do potęgi nazywa się znalezieniem wartości numerycznej lub alfabetycznej po jej podniesieniu do potęgi.

Przykład. Podnieś do stopnia.

• 5 3 = 5 · 5 · 5 = 125
• 2,5 2 = 2,5 · 2,5 = 6,25
• (

Podnoszenie liczby ujemnej

Podstawą stopnia (liczba podniesiona do potęgi) może być dowolna liczba - dodatnia, ujemna lub zero.

Po podniesieniu do potęgi liczby dodatniej uzyskuje się liczbę dodatnią.

Przy konstruowaniu zerowego poziomu naturalnego otrzymuje się zero.

Przy podnoszeniu liczby ujemnej do potęgi wynik może być liczbą dodatnią lub ujemną. To zależy od tego, czy wykładnik jest nieparzysty, czy nieparzysty.

Rozważ przykłady podniesienia do potęgi liczb ujemnych.

Z rozważanych przykładów wynika, że ​​jeśli liczba ujemna zostanie podniesiona do nieparzystego stopnia, wówczas uzyskuje się liczbę ujemną. Ponieważ iloczyn nieparzystej liczby czynników ujemnych jest ujemny.

Jeśli liczba ujemna zostanie podniesiona do równej mocy, wówczas uzyskuje się liczbę dodatnią. Ponieważ produkt parzystej liczby czynników ujemnych jest dodatni.

Liczba ujemna podniesiona do równej mocy jest liczbą dodatnią.

Liczba ujemna podniesiona do mocy nieparzystej jest liczbą ujemną.

Kwadrat dowolnej liczby to liczba dodatnia lub zero, to znaczy:

a 2 ≥ 0 dla dowolnego a.

• 2 · (-3) 2 = 2 · (-3) · (-3) = 2 · 9 = 18
• -5 · (-2) 3 = -5 · (-8) = 40

Zwróć uwagę!

Podczas rozwiązywania przykładów potęgowania często popełniają błędy, zapominając, że wpisy (-5) 4 i -5 4 są różnymi wyrażeniami. Wyniki potęgowania tych wyrażeń będą różne.

Aby obliczyć (-5) 4, należy znaleźć wartość czwartej potęgi liczby ujemnej.

Znajdowanie "-5 4" oznacza, że ​​przykład należy rozwiązać w 2 krokach:

1. Podnieś do czwartej potęgi dodatnią liczbę 5.
   5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
2. Umieść znak minus przed wynikiem (czyli wykonaj akcję odejmowania).
   -5 4 = -625

Przykład. Oblicz: -6 2 - (-1) 4

1. 6 2 = 6 · 6 = 36
2. -6 2 = -36
3. (-1) 4 = (-1) · (-1) · (-1) · (-1) = 1
4. - (- 1) 4 = -1
5. -36 - 1 = -37

Procedura w przykładach ze stopniami

Obliczenie wartości nazywa się akcją potęgowania. To jest akcja trzeciego kroku.

W wyrażeniach o stopniach, które nie zawierają nawiasów, najpierw wykonują moc, następnie mnożą się i dzielą, a na końcu dodają i odejmują.

Jeśli w wyrażeniu znajdują się nawiasy klamrowe, to najpierw w powyższej kolejności wykonaj akcje w nawiasach, a następnie pozostałe akcje w tej samej kolejności od lewej do prawej.

Aby ułatwić rozwiązanie przykładów, warto poznać i wykorzystać tabelę stopni, którą można pobrać bezpłatnie na naszej stronie internetowej.

Aby sprawdzić swoje wyniki, możesz skorzystać z internetowego kalkulatora podwyższenia stopnia na naszej stronie internetowej.

Stopień liczby: definicje, oznaczenie, przykłady.

W tym artykule zrozumiemy, jaki jest stopień liczby. Tutaj podamy definicje stopnia liczby, ze szczegółowym spojrzeniem na wszystkie możliwe wskaźniki stopnia, zaczynając od naturalnego wskaźnika i kończąc na irracjonalnym. W materiale znajdziesz wiele przykładów stopni obejmujących wszystkie subtelności, które powstają.

Przejdź na stronę.

Stopień z naturalnym wskaźnikiem, kwadrat liczby, sześcian liczby

Na początek podamy definicję stopnia liczby z indeksem naturalnym. Patrząc w przyszłość, mówimy, że definicja stopnia a z naturalnym indeksem n jest podana dla liczby rzeczywistej a, którą nazwiemy podstawą stopnia i naturalną liczbą n, którą nazwiemy wykładnikiem. Zauważamy również, że stopień z indeksem naturalnym jest określany przez produkt, tak aby zrozumieć poniższy materiał, musisz mieć pojęcie o pomnożeniu liczb.

Stopień a z indeksem naturalnym n jest wyrażeniem postaci a n, której wartość jest równa iloczynowi czynników, z których każdy jest równy a, to jest.
W szczególności stopień a z indeksem 1 jest liczbą samą w sobie, tj. A 1 = a.

Z tej definicji jasno wynika, że ​​za pomocą dyplomu o naturalnym indeksie można zapisać prace kilku identycznych czynników. Na przykład 8 · 8 · 8 · 8 można zapisać jako stopień 8 4. Jest to analogiczne do tego, w jaki sposób suma identycznych terminów została napisana przy użyciu utworu, na przykład 8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4 (patrz ogólna koncepcja artykułu na temat mnożenia liczb naturalnych).

Natychmiast należy powiedzieć o zasadach czytania stopni. Uniwersalny sposób na odczytanie n rekordu to: "a do potęgi n". W niektórych przypadkach takie warianty są również dopuszczalne: "a do n-tego stopnia" i "n-ta moc liczby a". Na przykład, weź klasę 12 12, to jest "osiem do potęgi dwunastu" lub "osiem do dwunastej potęgi" lub "dwunasta potęga ośmiu".

Drugi stopień liczby, a także trzeci stopień liczby mają swoje własne nazwy. Druga potęga liczby jest nazywana kwadratem liczby, na przykład 7 2 brzmi jak "siedem kwadratów" lub "kwadrat liczby siedem". Trzecia potęga liczby nazywa się sześcianem liczby, na przykład 5 3 można odczytać jako "pięć w sześcianie" lub powiedzieć "sześcian liczby 5".

Czas podać przykłady stopni z naturalnymi wskaźnikami. Zacznijmy od stopnia 5 7, tutaj 5 to podstawa stopnia, a 7 to wykładnik. Podajmy inny przykład: ułamek dziesiętny z 4,32 jest podstawą, a dodatnia liczba całkowita 9 jest wykładnikiem (4,32) 9.

Należy zauważyć, że w ostatnim przykładzie podstawa stopnia 4.32 jest zapisana w nawiasach: aby uniknąć rozbieżności, wszystkie podstawy stopnia weźmiemy w nawiasach innych niż liczby naturalne. Jako przykład podajemy następujące stopnie z naturalnymi wskaźnikami, ich podstawy nie są liczbami naturalnymi, więc są napisane w nawiasach. Cóż, dla pełnej jasności w tej chwili pokazujemy różnicę zawartą w zapisach formularza (-2) 3 i -2 3. Wyrażenie (-2) 3 jest stopniem liczby ujemnej -2 z indeksem naturalnym 3, a wyrażenie -2 3 (można zapisać jako - (2 3)) odpowiada liczbie przeciwnej do wartości stopnia 2 3.

Zauważ, że istnieje notacja dla stopnia a z indeksem n formularza a ^ n. Ponadto, jeśli n jest wielowartościową liczbą całkowitą dodatnią, to wykładnik jest brany w nawiasach. Na przykład 4 ^ 9 to kolejny wpis stopnia 4 9. Oto kilka przykładów zapisu stopni za pomocą symbolu "^": 14 ^ (21), (-2,1) ^ (155). W dalszej części będziemy głównie używać notacji dla stopnia postaci a n.

Powyższa definicja pozwala znaleźć wartość stopnia z naturalnym wskaźnikiem. Aby to zrobić, oblicz iloczyn współczynników równych a. Ten temat zasługuje na szczegółowe omówienie w osobnym artykule - patrz wykład potęgowy z naturalnym wskaźnikiem.

Jednym z zadań, odwrotnością konstrukcji z naturalnym wskaźnikiem, jest problem znalezienia podstawy stopnia za pomocą znanej wartości stopnia i znanego wskaźnika. Zadanie to prowadzi do koncepcji korzenia z liczby.

Warto również zbadać właściwości stopnia o indeksie naturalnym, który wynika z tej definicji stopnia i właściwości mnożenia.

Stopień z liczbą całkowitą

Po ustaleniu stopnia indeksu naturalnego powstaje logiczne pożądanie, aby rozwinąć pojęcie stopnia i przejść do stopnia liczby, którego wskaźnikiem będzie każda liczba całkowita, w tym ujemna i zerowa. Należy to zrobić w taki sposób, aby wszystkie właściwości stopnia z indeksem naturalnym pozostały ważne, ponieważ liczby naturalne są częścią liczb całkowitych.

Stopień a z dodatnią liczbą całkowitą jest niczym więcej jak potęgą a z naturalnym wykładnikiem :, gdzie n jest dodatnią liczbą całkowitą.

Teraz definiujemy zero mocy a. Przejdźmy od własności mocy cząstkowych z tymi samymi podstawami: dla liczb naturalnych m i n, m m: a n = a m - n (warunek a ≠ 0 jest konieczny, ponieważ w przeciwnym razie mielibyśmy dzielenie przez zero). Dla m = n zapisana równość prowadzi do następującego wyniku: a n: a n = a n - n = a 0. Ale z drugiej strony, n: a n = 1 jako iloraz równych liczb a i in. Dlatego musimy zaakceptować 0 = 1 dla dowolnej niezerowej liczby rzeczywistej.

Ale co z zerowym do zera stopniem? Podejście zastosowane w poprzednim akapicie nie jest odpowiednie dla tego przypadku. Możemy przywołać właściwość iloczynu stopni o tych samych podstawach a m · a n = a m + n, w szczególności gdy n = 0, mamy m · a 0 = a m (ta równość również pokazuje, że a = 1). Jednakże dla a = 0 otrzymujemy równość 0 m · 0 0 = 0 m, która może być przepisana jako 0 = 0, jest prawdziwa dla każdego naturalnego m, niezależnie od tego, jaka jest wartość wyrażenia 0 0. Innymi słowy, 0 0 może być równe dowolnej liczbie. Aby uniknąć tej niejednoznaczności, nie przypisujemy zero do potęgi zerowej (z tych samych powodów, podczas badania podziału, nie nadaliśmy znaczenia wyrażeniu 0: 0).

Łatwo jest zweryfikować, że nasza równość a 0 = 1 dla niezerowych liczb a jest zgodna z własnością stopnia do stopnia (a m) n = a m · n. Rzeczywiście, dla n = 0, mamy (a m) 0 = 1 i m · 0 = a 0 = 1, a dla m = 0 mamy (a 0) n = 1 n = 1 i 0 · n = a 0 = 1.

Tak więc doszliśmy do definicji stopnia z zerowym wskaźnikiem. Stopień a z wykładnikiem zerowym (niezerowa liczba rzeczywista) wynosi jeden, czyli 0 = 1 dla ≠ 0.

Podajmy przykłady: 5 0 = 1, (33,3) 0 = 1, a 0 0 nie jest zdefiniowane.

Wyznacza się zerowy stopień liczby a, pozostaje ustalenie całkowitego ujemnego stopnia liczby a. Pomoże nam to wszystkie te same własności produktu stopni z tymi samymi podstawami a m · a n = a m + n. Przyjmujemy m = -n, który wymaga warunku a ≠ 0, a następnie a -n · a n = a-n + n = a 0 = 1, z czego dochodzimy do wniosku, że n i a -n są wzajemnie odwrotnymi liczbami. Zatem logicznie jest zdefiniować liczbę a do liczby całkowitej ujemnej -n jako ułamek. Jest to łatwe do sprawdzenia, czy w tym ustawieniu stopnia niezerowym numerem A z ujemnym wskaźnikiem wszystkich właściwości pozostają prawdziwe stopniu ze wskaźnikiem ziemnego (patrz właściwości ze wskaźnikiem stopnia), do której dążyli.

Brzmimy definicję stopnia z całym ujemnym indeksem. Stopień a z ujemną liczbą całkowitą -n (niezerową liczbą rzeczywistą) jest ułamkiem, to znaczy z ≠ 0 i dodatnią liczbą całkowitą n.

Rozważ tę definicję stopnia z ujemną liczbą całkowitą na konkretnych przykładach :.

Podsumuj informacje o tym przedmiocie.

Stopień a z liczbą całkowitą z określa się jako:

Stopień z racjonalnym wskaźnikiem

Na podstawie liczb całkowitych liczby a sugeruje się przejście do racjonalnego wskaźnika. Poniżej określamy stopień z racjonalnym wskaźnikiem, a zrobimy to w taki sposób, że zachowane zostaną wszystkie właściwości stopnia z całym wskaźnikiem. Jest to konieczne, ponieważ liczby całkowite są częścią liczb wymiernych.

Wiadomo, że zbiór liczb wymiernych składa się z liczb całkowitych i ułamkowych, a każda liczba ułamkowa może być przedstawiona jako zwykła lub dodatnia ułamek zwykły. Zdefiniowaliśmy stopień z wykładnikiem całkowitym w poprzednim akapicie, dlatego aby uzupełnić definicję wykładnika o racjonalny wykładnik, musimy nadać znaczenie określeniu stopnia z wykładnikiem cząstkowym m / n, gdzie m jest liczbą całkowitą, a n jest naturalne. Zróbmy to.

Rozważ stopień z wykładnikiem cząstkowym. Aby własność stopnia do pewnego stopnia była ważna, równość musi być spełniona. Jeśli weźmiemy pod uwagę uzyskaną równość i sposób, w jaki określamy korzeń n-tego stopnia, to logiczne jest, aby zaakceptować, pod warunkiem, że dla danego m, n i a, wyrażenie ma sens.

Łatwo jest sprawdzić, czy wszystkie właściwości stopnia ze wskaźnikiem całkowitym są prawidłowe (odbywa się to w sekcji dotyczącej właściwości stopnia z racjonalnym wskaźnikiem).

Powyższe rozumowanie pozwala wysnuć następujący wniosek: jeśli dla danego m, n i a wyrażenie ma sens, wówczas stopień a z ułamkowym wskaźnikiem m / n jest korzeniem n-tego stopnia od a do stopnia m.

To stwierdzenie przybliża nas do definicji stopnia z ułamkowym wykładnikiem. Pozostaje tylko pisać, dla których m, n i ma sens. W zależności od ograniczeń nałożonych na m, n i a, istnieją dwa podstawowe podejścia.

Najłatwiej jest nałożyć ograniczenie na a, przyjmując a 00 dla pozytywnego m i a> 0 dla ujemnego m (ponieważ dla m≤0, stopień 0 m nie jest zdefiniowany). Następnie otrzymujemy następującą definicję stopnia z ułamkowym wykładnikiem.

Stopień liczby dodatniej a ze współczynnikiem ułamkowym m / n, gdzie m jest liczbą całkowitą, a n jest liczbą całkowitą dodatnią, jest nazywany n-tym korzeniem a do potęgi m, to jest.

Poziom ułamkowo-zerowy jest również ustalany z zastrzeżeniem, że wskaźnik powinien być dodatni.

Stopień zera z ułamkowym dodatnim indeksem m / n, gdzie m jest dodatnią liczbą całkowitą, a n jest dodatnią liczbą całkowitą, jest zdefiniowany jako.
Gdy stopień nie jest określony, to znaczy, że stopień zerowy z ułamkowym wskaźnikiem ujemnym nie ma sensu.

Należy zauważyć, że przy takiej definicji stopnia z ułamkowym wykładnikiem występuje jeden niuans: dla niektórych negatywnych a i niektórych m i n, wyrażenie ma sens i odrzuciliśmy te przypadki, wprowadzając warunek a≥0. Na przykład sensowne jest pisanie lub, a powyższa definicja mówi, że stopnie z ułamkowym indeksem gatunku nie mają sensu, ponieważ podstawa nie powinna być ujemna.

Innym podejściem do określania stopnia z ułamkowym m / n jest osobne rozpatrywanie wskaźników parzystych i nieparzystych. Takie podejście wymaga dodatkowego warunku: stopień liczby a, której wskaźnikiem jest zredukowana frakcja, jest uważany za stopień liczby a, którego wskaźnikiem jest odpowiednia frakcja nieredukowalna (wyjaśnimy znaczenie tego warunku tuż poniżej). Oznacza to, że jeśli m / n jest frakcją nieredukowalną, to dla dowolnej liczby naturalnej k stopień jest zastępowany przez.

Dla m równomiernego i dodatniego wyrażenie ma sens dla dowolnego nieujemnego a (równy korzeń liczby ujemnej nie ma sensu), dla ujemnego m, liczba a musi również być niezerowa (w przeciwnym razie podzielić przez zero). Dla liczby nieparzystej i dodatniej liczba a może być dowolna (pierwiastek nieparzystego jest określony dla dowolnej liczby rzeczywistej), a dla liczby ujemnej m liczba a musi być niezerowa (aby nie było dzielenia przez zero).

Powyższe rozumowanie prowadzi nas do takiej definicji stopnia z ułamkowym wykładnikiem.

Niech m / n będzie frakcją nieredukowalną, m będzie liczbą całkowitą, a n będzie dodatnią liczbą całkowitą. W przypadku jakiejkolwiek frakcji podlegającej redukcji, stopień jest zastępowany przez. Stopień z nieredukowalnym wykładnikiem frakcyjnym m / n jest dla

• dowolna liczba rzeczywista a, dodatnia liczba całkowita m i nieparzysta liczba całkowita n, na przykład;
• dowolną niezerową liczbę rzeczywistą a, całkowitą ujemną m i nieparzystą n, na przykład;
• dowolna nieujemna liczba a, całkowita liczba dodatnia m, a nawet n, na przykład;
• dowolne pozytywne a, całkowite ujemne m, a nawet n, na przykład;
• w innych przypadkach stopień z wykładnikiem cząstkowym nie jest zdefiniowany, na przykład stopnie nie są zdefiniowane.

Wyjaśniamy, dlaczego stopień z odwołanym wykładnikiem frakcyjnym jest wstępnie zastępowany przez wykładnik z nieredukowalnym wykładnikiem. Gdybyśmy po prostu zdefiniowali stopień i nie zgłosili zastrzeżeń co do nieredukowalności frakcji m / n, wówczas mielibyśmy do czynienia z sytuacjami takimi jak: od 6/10 = 3/5, to równość musi się utrzymywać, ale, a.

Zauważ, że pierwsza definicja stopnia z indeksem ułamkowym jest łatwiejsza w użyciu niż druga. Dlatego użyjemy go w przyszłości.

stopień liczby dodatniej a ze współczynnikiem ułamkowym m / n definiujemy jako, dla ujemnych rekordów, których nie przypisujemy żadnego znaczenia, stopień liczby zero określa się dla dodatnich wskaźników ułamkowych m / n, dla ujemnych wskaźników ułamkowych nie określa się stopnia zero.

Na zakończenie tego paragrafu zwracamy uwagę na to, że wykładnik cząstkowy można zapisać w postaci ułamka dziesiętnego lub liczby mieszanej, na przykład. Aby obliczyć wartości wyrażeń tego typu, należy zapisać wykładnik w postaci zwykłej frakcji, a następnie użyć definicji stopnia z wykładnikiem cząstkowym. Dla wskazanych przykładów mamy i.

Stopień z niewymiernym i prawidłowym wskaźnikiem

Wiadomo, że zbiór liczb rzeczywistych można uznać za połączenie zbiorów liczb racjonalnych i nieracjonalnych. W związku z tym stopień z prawidłowym wskaźnikiem można uznać za określony, gdy określa się stopień z racjonalnym wskaźnikiem i stopień z irracjonalnym wskaźnikiem. Rozmawialiśmy o stopniu z racjonalnym wskaźnikiem w poprzednim akapicie, pozostaje poradzić sobie ze stopniem z irracjonalnym wskaźnikiem.

Pojęcie stopnia a z indeksem nieracjonalnym będzie traktowane stopniowo.

Niech będzie ciągiem dziesiętnych przybliżeń liczby nieracjonalnej. Na przykład weź irracjonalny numer, a następnie możesz zaakceptować, lub itd. Warto zauważyć, że liczby są racjonalne.

Sekwencja liczb wymiernych odpowiada sekwencji stopni i możemy obliczyć wartości tych stopni na podstawie materiału podnoszącego przedmiot do racjonalnego stopnia. Jako przykład weź = 3, a następnie, i po podniesieniu do władzy, otrzymamy.

Wreszcie sekwencja zbiega się do pewnej liczby, która jest wartością potęgi z niewymiernym wykładnikiem. Powróćmy do naszego przykładu: stopień z irracjonalnym wskaźnikiem formy zbiega się z liczbą równą 6,27 z dokładnością do jednej setnej.

Stopień liczby dodatniej a z indeksem nieracjonalnym jest wyrażeniem, którego wartość jest równa granicy sekwencji, gdzie są kolejne dziesiętne przybliżenia liczby irracjonalnej.

Stopień liczby zero określa się dla dodatnich wskaźników irracjonalnych. Na przykład. I stopień liczby 0 z ujemnym wskaźnikiem irracjonalnym nie jest określony, na przykład, nie jest określony.

Osobno należy powiedzieć o irracjonalnym stopniu jednostki - jednostka w jakimkolwiek irracjonalnym stopniu jest równa 1. Na przykład i.

Korzenie i stopnie

Stopień

Stopień jest wyrażeniem postaci :, gdzie:

• - podstawa stopnia;
• - wykładnik.

Stopień z naturalnym wskaźnikiem

Definiujemy pojęcie stopnia, którego indeks jest liczbą naturalną (to jest liczbą całkowitą i dodatnią).

1. Z definicji :.
2. Aby wyrównać liczbę, należy ją pomnożyć osobno:
3. Zbudowanie liczby w sześcianie oznacza trzykrotne jej pomnożenie :.

Podniesienie liczby do naturalnego stopnia oznacza ponowne pomnożenie jej przez liczbę:

Stopień z liczbą całkowitą

Jeśli wykładnik jest dodatnią liczbą całkowitą:

, n> 0

Elewacja do zera stopnia:

, a ≠ 0

Jeśli wykładnik jest liczbą całkowitą ujemną:

, a ≠ 0

Uwaga: wyrażenie nie jest zdefiniowane, w przypadku n ≤ 0. Jeśli n> 0, to

Stopień z racjonalnym wskaźnikiem

• a> 0;
• n jest liczbą naturalną;
• m jest liczbą całkowitą;

Właściwości stopni

Root

Arytmetyczny pierwiastek kwadratowy

Równanie ma dwa rozwiązania: x = 2 i x = -2. Są to liczby, których kwadrat to 4.

Rozważmy równanie. Narysujmy wykres funkcji i zobaczmy, że to równanie ma również dwa rozwiązania: jeden pozytywny, drugi negatywny.

Ale w tym przypadku rozwiązania nie są liczbami całkowitymi. Co więcej, nie są one racjonalne. Aby zapisać te irracjonalne decyzje, wprowadzamy specjalny pierwiastek kwadratowy.

Arytmetyczny pierwiastek kwadratowy jest liczbą nieujemną, której kwadrat jest, a ≥ 0. Kiedy a

Stopień i jego właściwości. Określenie stopnia

Sekcje: Matematyka

Zapoznanie studentów z właściwościami stopni z naturalnymi wskaźnikami i nauczenie wykonywania akcji ze stopniami.

Temat "Stopień i jego właściwości" zawiera trzy pytania:

• Wyznaczenie stopnia z naturalnym wskaźnikiem.
• Mnożenie i podział władzy.
• Podnoszenie stopnia produktu i stopnia.

Sformułować definicję stopnia o indeksie naturalnym większym niż 1. Podaj przykład.

Sformułować definicję stopnia ze wskaźnikiem 1. Podaj przykład.

Jaka jest kolejność działań podczas obliczania wartości wyrażenia zawierającego stopień?

Sformułuj podstawową własność stopnia. Podaj przykład.

Sformułuj zasadę mnożenia stopni przy użyciu tych samych zasad. Podaj przykład.

Sformułuj zasadę dzielenia stopni z tymi samymi podstawami. Podaj przykład.

Sformułuj regułę dotyczącą stopnia pracy. Podaj przykład. Udowodnij tożsamość (ab) n = a n • b n.

Sformułuj regułę potęgowania stopnia. Podaj przykład. Udowodnij tożsamość (a m) n = a m n.

Stopień a z naturalnym indeksem n większym niż 1 jest iloczynem n czynników, z których każdy jest a. Stopień a z indeksem 1 jest liczbą samą w sobie.

Stopień z podstawą a i indeksem n jest zapisany następująco: a n. Przeczytaj "a do potęgi n"; "N-ta moc a".

Z definicji stopień:

Znalezienie wartości stopnia nazywa się potęgowaniem.

1. Przykłady potęgowania:

0 4 = 0 • 0 • 0 • 0 = 0

(-5) 3 = (-5) • (-5) • (-5) = -125

2. Wyobraź sobie w postaci liczby kwadratowej: 25; 0,09;

25 = 5 2; 0,09 = (0,3) 2;.

3. Przedstaw w postaci sześcianu liczby:

27 = 3 3; 0,001 = (0,1) 3; 8 = 2 3.

4. Znajdź wartości wyrażeń:

a) 3 • 10 3 = 3 • 10 • 10 • 10 = 3 • 1000 = 3000

b) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

1. Napisz pracę jako stopień:

c) b • b • b • b • b • b • b

d) (-x) • (-x) • (-x) • (-x)

d) (ab) • (ab) • (ab)

2. Przedstaw w formie liczby kwadratowej:

3. Przedstaw w postaci sześcianu liczby:

4. Znajdź wartości wyrażeń:

Dla dowolnej liczby a i dowolnych liczb m i n:

a m a n = a m + n.

Reguła: Mnożąc stopnie z tymi samymi podstawami, zasady pozostają niezmienione, a wykładniki są dodawane razem.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

1. Przedstawić jako stopień:

a) x 5 • x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y • y 6 = y 1 • y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 • b 5 • b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11

d) 3 4 • 9 = 3 4 • 3 2 = 3 6

d) 0,01 • 0,1 3 = 0,1 2 • 0,1 3 = 0,1 5

2. Przedstaw jako stopień i znajdź wartość w tabeli:

a) 2 3 • 2 = 2 4 = 16

b) 3 2 • 3 5 = 3 7 = 2187

1. Przedstawić jako stopień:

a) x 3 • x 4 e) x 2 • x 3 • x 4

b) a 6 • a 2 g) 3 3 • 9

c) 4 • c) 7 4 • 49

d) a • a 8 i) 16 • 2 7

e) 2 3 • 2 4 k) 0,3 3 • 0,09

2. Przedstaw jako stopień i znajdź wartość w tabeli:

a) 2 2 • 2 3 c) 8 • 2 5

b) 3 4 • 3 2 g) 27 • 243

Dla dowolnej liczby 0 i dowolnych dodatnich liczb całkowitych m oraz n, tak, że m> n jest prawdziwe:

a m: a n = a m - n

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

z definicji prywatne:

a m: a n = a m - n.

Reguła: Podczas dzielenia stopni z tymi samymi podstawami, podstawa pozostaje taka sama, a stopień dzielnika jest odejmowany od wykładnika.

Definicja: Stopień nie równy zero, z wykładnikiem zerowym równym jeden:

Liczby Stopień liczby.

Powszechnie wiadomo, że sumę kilku równych składników można znaleźć za pomocą mnożenia. Na przykład: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5x6. Takie wyrażenie jest uważane za sumę równych składników zamienionych w produkt. I odwrotnie, jeśli odczytamy tę równość z prawej na lewą, otrzymamy, że rozszerzyliśmy sumę równych terminów. Podobnie można zapaść iloczyn kilku równych czynników 5x5x5x5x5x5 = 5 6.

Oznacza to, że zamiast pomnożyć sześć identycznych czynników 5x5x5x5x5x5, piszą 5 6 i mówią "od piątego do szóstego stopnia".

Wyrażenie 5 6 jest potęgą liczby, gdzie:

5 - podstawa stopnia;

6 - wykładnik.

Działania minimalizujące iloczyn równych czynników do potęgi nazywane są potęgowaniem.

Ogólnie rzecz biorąc, stopień z podstawą "a" i indeksem "n" jest zapisywany jako

Podnieść liczbę a do potęgi n oznacza znaleźć iloczyn n czynników, z których każdy jest a

Jeśli podstawą stopnia "a" jest 1, to wartość stopnia dla każdego naturalnego n wynosi 1. Na przykład: 1 5 = 1, 1 256 = 1

Jeśli podniesiemy liczbę "a" do pierwszego stopnia, otrzymamy liczbę samą w sobie: a 1 = a

Jeśli podniesiemy dowolną liczbę do zera, to w wyniku obliczeń otrzymamy jeden. a 0 = 1

Specjalni uważają numery drugiego i trzeciego stopnia. Dla nich wymyślono nazwę: drugi stopień nazywany jest kwadratem liczby, trzeci - sześcianem tej liczby.

Każda liczba może zostać podniesiona do potęgi - dodatnia, ujemna lub zero. Nie używa następujących reguł:

-przez znalezienie stopnia liczby dodatniej uzyskuje się liczbę dodatnią.

-przy obliczaniu zera w stopniu naturalnym uzyskujemy zero.

- podczas obliczania stopnia liczby ujemnej wynik może być zarówno liczbą dodatnią, jak i liczbą ujemną. To zależy od tego, czy wykładnik jest nieparzysty, czy nieparzysty.

Jeśli rozwiążemy kilka przykładów obliczania stopnia liczb ujemnych, wówczas okaże się, że jeśli obliczymy nieparzysty stopień liczby ujemnej, to wynik będzie liczbą ze znakiem minus. Ponieważ, mnożąc nieparzystą liczbę czynników ujemnych, uzyskujemy wartość ujemną.

Jeśli obliczymy równy stopień dla liczby ujemnej, wynik będzie liczbą dodatnią. Ponieważ, pomnażając parzystą liczbę czynników ujemnych, uzyskujemy wartość dodatnią.

Stopień własności z naturalnym wskaźnikiem.

Aby pomnożyć stopnie z tymi samymi podstawami, nie zmieniamy podstaw i dodajemy wykładniki stopni:

na przykład: 7 1,7 · 7 - 0,9 = 7 1,7+ (- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Aby oddzielić stopnie z tymi samymi podstawami, nie zmieniamy podstawy, ale odejmujemy wykładniki:

na przykład: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Przy obliczaniu potęgowania stopnia nie zmieniamy podstawy i mnożymy wykładniki stopni.

na przykład: (2 3) 2 = 2 3 · 2 = 2 6

Jeśli konieczne jest obliczenie wzniesienia do stopnia produktu, wówczas każdy czynnik zostaje podniesiony do tego stopnia.

na przykład: (2 · 3) 3 = 2 n · 3 m,

Wykonując obliczenia dotyczące budowy ułamka, podnosimy licznik i mianownik frakcji do tej mocy.

na przykład: (2/5) 3 = (2/5) · (2/5) · (2/5) = 2 3/5 3.

Sekwencja obliczeń podczas pracy z wyrażeniami zawierającymi stopień.

Podczas wykonywania obliczeń wyrażeń bez nawiasów, ale zawierających stopnie, najpierw wykonaj potęgowanie, a następnie pomnóż i podziel akcje, a dopiero potem dodaj i odejmuj operacje.

Jeśli konieczne jest obliczenie wyrażenia zawierającego nawiasy, a następnie najpierw w podanej powyżej kolejności, wykonujemy obliczenia w nawiasach, a następnie pozostałe akcje w tej samej kolejności od lewej do prawej.

Bardzo szeroko w praktycznych obliczeniach do uproszczenia obliczeń wykorzystano gotowe tabele stopni.

Wyjaśnij, jak znaleźć moc pewnej liczby

Oszczędzaj czas i nie wyświetlaj reklam w programie Knowledge Plus

Oszczędzaj czas i nie wyświetlaj reklam w programie Knowledge Plus

Odpowiedź

Odpowiedź jest udzielona

19kot

Połącz Knowledge Plus, aby uzyskać dostęp do wszystkich odpowiedzi. Szybko, bez reklam i przerw!

Nie przegap tego ważnego - połącz Knowledge Plus, aby zobaczyć odpowiedź już teraz.

Obejrzyj wideo, aby uzyskać dostęp do odpowiedzi

O nie!
Wyświetlenia odpowiedzi są zakończone

Połącz Knowledge Plus, aby uzyskać dostęp do wszystkich odpowiedzi. Szybko, bez reklam i przerw!

Nie przegap tego ważnego - połącz Knowledge Plus, aby zobaczyć odpowiedź już teraz.

Obejrzyj wideo, aby uzyskać dostęp do odpowiedzi

O nie!
Wyświetlenia odpowiedzi są zakończone

• Komentarze
• Oznacz naruszenie

Odpowiedź

Odpowiedź jest udzielona

Nadirka212

Najbardziej sensowną rzeczą jest rozłożenie liczby na czynniki pierwsze, wtedy można znaleźć zarówno podstawę, jak i wykładnik.
Jeśli baza jest znana, to wskaźnik można znaleźć przez logarytmizację, na przykład
2 ^ x = 8
Aby znaleźć x, musisz liczyć obie części bazy 2
x = zaloguj się do bazy 2 z 8 = ln 8 / ln 2 (można to obliczyć na kalkulatorze) = 3
Jeśli wskaźnik jest znany, podstawa jest znaleziona przez wyodrębnienie korzenia, na przykład
x ^ 3 = 8
wyodrębnij korzeń sześcienny z obu części
x = podstawa sześcienna z 8 = 2

Jeśli żaden z nich nie zna jednego lub drugiego, rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze, dokonuje się tego poprzez sukcesywne dzielenie liczby na czynniki pierwsze.
614656/2 = 307328
307328/2 = 153664
153664/2 = 76832
76832/2 = 38416
38416/2 = 19208
19208/2 = 9604
9604/2 = 4802
4802/2 = 2401
2401 nie jest podzielna przez 2, przez 3, przez 5 (sukcesywnie iteracyjne liczby pierwsze)
2407/7 = 343
343/7 = 49
49/7 = 7
7/7 = 1
Razem podzieliliśmy przez 2 osiem razy i 7 cztery razy, dlatego
614656 = 2 ^ 8 * 7 ^ 4
Jeśli chcemy znaleźć reprezentację w postaci a b z naturalnymi a i bib muszą być maksymalne, to jako b musimy pobrać GCD stopni uzyskanych w rozkładzie na czynniki pierwsze, czyli w tym przypadku b = GCD (8,4) = 4
podstawa stopnia a będzie wynosić 2 ^ (8 / b) * 7 ^ (4 / b) = 2 ^ 2 * 7 ^ 1 = 4 * 7 = 28

Stopień i jego właściwości. Początkowy poziom.

Stopień jest wyrażeniem postaci :, gdzie:

Stopień z liczbą całkowitą

którego stopień jest liczbą naturalną (tj. liczbą całkowitą i dodatnią).

Stopień z racjonalnym wskaźnikiem

stopień, który jest liczbą ujemną i ułamkową.

Stopień z nieracjonalnym wykładnikiem

stopień, którego wykładnikiem jest nieskończona część dziesiętna lub root.

Właściwości stopni

Cechy stopni.

• Liczba ujemna podniesiona do równej mocy jest liczbą dodatnią.
• Liczba ujemna podniesiona do mocy nieparzystej jest liczbą ujemną.
• Dodatnia liczba do dowolnego stopnia jest liczbą dodatnią.
• Zero jest równe dowolnemu stopniowi.
• Dowolna liczba to zero stopni.

Jaka jest moc tego numeru?

Potęgowanie to ta sama operacja matematyczna, jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie lub dzielenie.

Teraz wyjaśnię wszystko w ludzkim języku na bardzo prostych przykładach. Bądź uważny. Przykłady są elementarne, ale wyjaśniają ważne rzeczy.

Zacznijmy od dodania.

Nie ma tu nic do wyjaśnienia. Wiesz już wszystko: jest nas ośmioro. Każdy ma dwie butelki coli. Ile kosztuje cola? Zgadza się - 16 butelek.

Teraz mnożenie.

Ten sam przykład z Coca-Colą można napisać inaczej: Matematycy to sprytni i leniwi ludzie. Najpierw zauważają pewne wzory, a następnie wymyślają sposób szybkiego ich zliczenia. W naszym przypadku zauważyli, że każda z ośmiu osób miała taką samą liczbę butelek coli i wymyśliła urządzenie o nazwie mnożenie. Przyznanie, że jest uważane za łatwiejsze i szybsze niż.

Oto tabliczka mnożenia. Powtarzaj.
Aby liczyć szybciej, łatwiej i bez błędów, wystarczy pamiętać tablicę mnożenia. Oczywiście możesz zrobić wszystko wolniej, trudniej i z błędami! Ale...

Oto tabliczka mnożenia. Powtarzaj.

I kolejna, piękniejsza:

Jakie inne sprytne sztuczki zostały wynalezione przez leniwych matematyków? Poprawnie - wprowadzenie liczby w stopniu.

Podnoszenie liczby do potęgi.

Jeśli musisz pomnożyć liczbę przez siebie pięć razy, to matematycy mówią, że musisz zbudować tę liczbę do piątego stopnia. Na przykład. Matematycy pamiętają, że dwa do piątego stopnia jest to. I rozwiązuj takie zagadki - szybciej, łatwiej i bez błędów.

Aby to zrobić, pamiętaj tylko, co jest podświetlone kolorem w tabeli stopni liczb. Uwierz mi, to znacznie ułatwi ci życie.

Nawiasem mówiąc, dlaczego drugi stopień nazywany jest kwadratem liczby, a trzeci - sześcianem? Co to znaczy? Bardzo dobre pytanie. Teraz będziesz miał kwadraty i kostki.

Przykład z życia №1.

Zacznijmy od liczby kwadratowej lub drugiego stopnia.

Wyobraź sobie kwadratowy basen mierzący metry. Basen jest w twojej daczy. Gorąco i naprawdę chcesz popływać. Ale... basen bez dna! Konieczne jest ułożenie dna płytek basenowych. Ile płytek potrzebujesz? Aby to ustalić, musisz znać obszar dna puli.

Możesz po prostu policzyć, szturchając palcem, że dno basenu składa się z kostek metrowych na metr. Jeśli masz metr kwadratowy na metr, będziesz potrzebował kawałków. To łatwe... Ale gdzie widziałeś taką dachówkę? Płytka będzie bardziej prawdopodobne, aby zobaczyć cm, a następnie będziesz dręczony przez "palec". Następnie musisz pomnożyć. Tak więc, po jednej stronie dna basenu, dopasujemy płytki (kawałki), a z drugiej płytki. Mnożenie przez, dostajesz kafelki ().

Czy zauważyłeś, że aby określić obszar dna basenu, pomnożyliśmy tę samą liczbę przez siebie? Co to znaczy? Po pomnożeniu tej samej liczby możemy użyć techniki "potęgowania". (Oczywiście, kiedy masz tylko dwie liczby, wciąż je mnożysz lub podnosisz do potęgi, ale jeśli masz ich dużo, wówczas podniesienie ich do władzy jest znacznie prostsze, a błędy obliczeniowe są również mniejsze. Dla egzaminu Unified State jest to bardzo ważne).
Tak więc, trzydzieści do drugiego stopnia będzie (). Lub możesz powiedzieć, że będzie trzydzieści do kwadratu. Innymi słowy, drugi stopień liczby zawsze może być przedstawiony jako kwadrat. I odwrotnie, jeśli widzisz kwadrat, ZAWSZE jest to druga moc pewnej liczby. Kwadrat to obraz drugiego stopnia liczby.

Przykład z życia №2.

Oto zadanie dla ciebie, obliczyć ile pól na szachownicy za pomocą kwadratu liczby. Po jednej stronie komórek i po drugiej. Aby obliczyć ich liczbę, musisz pomnożyć osiem na osiem, lub... jeśli zauważysz, że szachownica jest kwadratem z bokiem, możesz zbudować osiem na kwadrat. Zdobądź komórkę. () Tak?

Przykład z życia numer 3.

Teraz sześcian lub trzecia potęga liczby. Taki sam basen. Ale teraz musisz wiedzieć, ile wody musisz wlać do tego basenu. Musisz obliczyć objętość. (Nawiasem mówiąc, objętości i płyny są mierzone w metrach sześciennych.Nieoczekiwanie, prawda?) Narysuj basen: dno ma metr długości i metr głębokości i spróbuj obliczyć, ile kostek w metrach do metra trafi do twojej puli.

Po prostu wskaż palec i policz! Raz, dwa, trzy, cztery... dwadzieścia dwa, dwadzieścia trzy... Ile to się stało? Nie zejdź Czy trudno jest zliczyć palcem? To wszystko! Weźmy przykład matematyków. Są leniwi, więc zauważyli, że w celu obliczenia objętości basenu konieczne jest pomnożenie się wzajemnie jego długości, szerokości i wysokości. W naszym przypadku objętość puli będzie równa sześcianowi... Czy to jest łatwiejsze, prawda?

A teraz wyobraź sobie, jak matematycy są leniwi i przebiegli, jeśli również to uprościli. Przyniosłem wszystko do jednej akcji. Zauważyli, że długość, szerokość i wysokość są równe i że ta sama liczba pomnożona przez siebie... A co to znaczy? Oznacza to, że możesz użyć stopnia. To, co kiedyś policzono jako palec, robi to w jednym akcie: trzy w sześcianie są równe. Jest napisane w ten sposób :.

Pozostaje tylko pamiętać tabelę stopni. Jeśli oczywiście jesteś tak leniwy i przebiegły jak matematycy. Jeśli lubisz ciężko pracować i popełniasz błędy, możesz kontynuować liczenie palcem.

Cóż, aby w końcu przekonać cię, że stopnie zostały wymyślone przez stróżów i oszustów do rozwiązywania ich problemów życiowych, a nie w celu tworzenia problemów dla ciebie, oto kilka przykładów z życia.

Przykład z życia №4.

Masz milion rubli. Na początku każdego roku zarabiasz na milion innych milionów. Oznacza to, że każdy z miliona na początku każdego roku jest podwojony. Ile masz pieniędzy od lat? Jeśli siedzisz i "licząc palec", jesteś bardzo pracowity i... głupi. Ale najprawdopodobniej dasz odpowiedź w kilka sekund, ponieważ jesteś mądry! Tak więc w pierwszym roku - dwa razy dwa... w drugim roku - co się stało, przez kolejne dwie, w trzecim roku... Przestań! Zauważyłeś, że liczba jest mnożona przez siebie raz. A więc dwa do piątego stopnia - milion! Teraz wyobraź sobie, że masz konkurencję, a ci, którzy otrzymają milion, szybciej się obliczy... Warto pamiętać o stopniach liczb, jak myślisz?

Przykład z życia nr 5.

Masz milion. Na początku każdego roku zarabiasz na każdym milionie dwóch kolejnych. Wow, naprawdę? Co milion trójek. Ile masz pieniędzy w ciągu roku? Policzmy. Pierwszy rok to pomnożenie przez, to wynik jest nadal przez... To już jest nudne, ponieważ już wszystko rozumiesz: trzy razy mnoży się samo. Tak więc w czwartym stopniu jest równa milionowi. Musisz tylko pamiętać, że trzy do czwartego stopnia to lub.

Teraz wiesz, że z pomocą podniesienia liczby do władzy znacznie ułatwisz sobie życie. Spójrzmy dalej, co możesz zrobić ze stopniami i co musisz o nich wiedzieć.

Warunki i pojęcia.

Zacznijmy od zdefiniowania pojęć. Jak myślisz, czym jest wykładnik? Jest to bardzo proste - jest to liczba "na szczycie" potęgi liczby. Nie naukowe, ale zrozumiałe i łatwe do zapamiętania...

A więc, co jest podstawą tego stopnia? Jeszcze prostszy jest numer u dołu, na dole.

Oto obraz twojej lojalności.

Cóż, ogólnie rzecz biorąc, aby podsumować i lepiej zapamiętać... Stopień z podstawą " i wskaźnikiem " jest odczytywany jako "do stopnia" i jest zapisany w następujący sposób:

Ponadto, dlaczego powiedzieć "stopień liczb z naturalnym wskaźnikiem"?

"Stopień liczb z naturalnym wskaźnikiem"

Prawdopodobnie już zgadłeś: ponieważ wykładnik jest liczbą naturalną. Tak, ale jaka jest liczba naturalna? Elementarne! Liczby naturalne to te, które są używane na rachunku przy wystawianiu pozycji: jeden, dwa, trzy... Kiedy liczymy pozycje, nie mówimy: "minus pięć", "minus sześć", "minus siedem". Nie mówimy również: "jedna trzecia" lub "punkt zerowy, pięć dziesiątych". To nie są liczby naturalne. A jakie są te liczby, jak myślisz?

Liczby takie jak "minus pięć", "minus sześć", "minus siedem" odnoszą się do liczb całkowitych. Ogólnie rzecz biorąc, liczby całkowite obejmują wszystkie liczby naturalne, liczby przeciwne do liczb naturalnych (to znaczy, podjęte ze znakiem minus) i liczbę. Zero jest łatwe do zrozumienia - wtedy nic nie ma. A co oznaczają liczby ujemne ("negatywne")? Ale wymyślono je przede wszystkim, aby wyznaczyć długi: jeśli masz równowagę w telefonie w rublach, oznacza to, że jesteś winien operatorowi ruble.

Frakcje dowolnego rodzaju są liczbami wymiernymi. Jak oni się pojawili, co o tym myślisz? Bardzo proste. Tysiące lat temu nasi przodkowie odkryli, że brakuje im liczb naturalnych, aby zmierzyć długość, wagę, powierzchnię itp. I wymyślili liczby wymierne... Interesujące, prawda?

Nadal istnieją liczby nieracjonalne. Jakie są te liczby? W skrócie, nieskończenie dziesiętny. Na przykład, jeśli obwód jest podzielony przez jego średnicę, otrzymuje się liczbę nieracjonalną.

Podsumowując:

• Liczby naturalne to liczby używane podczas liczenia, to znaczy itd.
• Liczba całkowita - wszystkie liczby naturalne, liczby naturalne z minusem i cyfrą 0.
• Liczby ułamkowe są uważane za racjonalne.
• Numery irracjonalne to nieskończone miejsca dziesiętne

Stopień z naturalnym wskaźnikiem

Zdefiniujmy pojęcie stopnia, którego indeks jest liczbą naturalną (tj. Liczbą całkowitą i dodatnią).

1. Każda liczba w pierwszym stopniu jest równa sobie:
2. Aby wyrównać liczbę, należy ją pomnożyć osobno:
3. Zbudowanie liczby w sześcianie oznacza trzykrotne pomnożenie jej przez trzy razy:

Definicja Podniesienie liczby do naturalnego stopnia oznacza ponowne pomnożenie jej przez liczbę:
.

Stopień liczby: definicje, oznaczenie, przykłady

W ramach tego materiału analizujemy stopień tego numeru. Oprócz podstawowych definicji, sformułujemy stopnie z naturalnymi, całościowymi, racjonalnymi i nieracjonalnymi wskaźnikami. Jak zawsze, wszystkie koncepcje zostaną zilustrowane przykładami zadań.

Stopnie z naturalnymi wykładnikami: pojęcie kwadratu i sześcianu liczby

Najpierw formułujemy podstawową definicję stopnia z indeksem naturalnym. W tym celu musimy przypomnieć podstawowe zasady mnożenia. Wyjaśnijmy z góry, że jako podstawa będziemy na razie przyjmować liczbę rzeczywistą (oznaczoną literą a), a jako wskaźnik - liczbę naturalną (oznaczoną literą n).

Stopień a z indeksem naturalnym n jest iloczynem n-tej liczby czynników, z których każdy jest równy liczbie a. Stopień jest napisany tak: a n, w postaci formuły, jego skład może być reprezentowany w następujący sposób:

Na przykład, jeśli wykładnikiem jest 1, a podstawa jest a, to pierwsza moc a jest zapisana jako 1. Biorąc pod uwagę, że a jest wartością mnożnika, a 1 to liczba mnożników, możemy wywnioskować, że a 1 = a.

Ogólnie można powiedzieć, że stopień jest wygodną formą rejestracji dużej liczby równych czynników. Zatem rekordowy typ 8 · 8 · 8 · 8 można zmniejszyć do 8 4. W przybliżeniu ta sama praca pomaga nam uniknąć pisania dużej liczby terminów (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); już to przeanalizowaliśmy w artykule poświęconym mnożeniu liczb naturalnych.

Jak odczytać zapis stopnia? Ogólnie przyjętą opcją jest "a do potęgi n". Możesz też powiedzieć "n-ty stopień a" lub "n-ty stopień". Jeśli, powiedzmy, w przykładzie, w którym osiągnęliśmy rekord 8 12, możemy odczytać "8 do 12 stopnia", "8 do stopnia 12" lub "12 do 8".

Numery drugiego i trzeciego stopnia mają swoje dobrze znane nazwy: kwadrat i sześcian. Jeśli widzimy drugi stopień, na przykład liczbę 7 (7 2), wówczas możemy powiedzieć "7 do kwadratu" lub "kwadrat z cyfry 7". Podobnie trzeci stopień brzmi tak: 5 3 to "sześcian liczby 5" lub "5 w sześcianie". Jednak możliwe jest również użycie standardowego sformułowania "w drugim / trzecim stopniu", nie będzie to błąd.

Przeanalizujmy przykład stopnia z naturalnym wskaźnikiem: dla 5 7, pięć będzie podstawą, a siódemką - wskaźnikiem.

Baza nie musi być liczbą całkowitą: dla stopnia (4, 32) 9, podstawa będzie ułamkiem 4, 32, a wskaźnik będzie wynosił dziewięć. Zwróć uwagę na nawiasy kwadratowe: taki wpis jest wprowadzany dla wszystkich stopni, których podstawy różnią się od liczb naturalnych.

Na przykład: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 4, 35 35, 7 3.

Do czego służą nawiasy? Pomagają uniknąć błędów w obliczeniach. Załóżmy, że mamy dwa wpisy: (- 2) 3 i - 2 3. Pierwsza z nich oznacza liczbę ujemną minus dwie, podniesioną do potęgi z indeksem naturalnym równym trzy; drugi to liczba odpowiadająca przeciwnej wartości stopnia 2 3.

Czasami w książkach można natknąć się na nieco inną pisownię mocy liczby - a ^ n (gdzie a jest podstawą, a n jest wskaźnikiem). Oznacza to, że 4 ^ 9 jest takie samo jak 4 9. Jeśli n jest liczbą wielowartościową, jest brane w nawiasach. Na przykład 15 ^ (21), (- 3, 1) ^ (156). Ale będziemy używać notacji jako bardziej powszechnej.

Jak obliczyć wartość stopnia z indeksem naturalnym można łatwo odgadnąć z jego definicji: wystarczy pomnożyć liczbę n razy. Więcej na ten temat, napisaliśmy w innym artykule.

Pojęcie stopnia jest przeciwieństwem innej koncepcji matematycznej - korzenia liczby. Jeśli znamy wartość stopnia i wykładnika, możemy obliczyć jego podstawę. Stopień ma pewne specyficzne właściwości, które są przydatne do rozwiązywania problemów, które zdemontowaliśmy w osobnym materiale.

Co to jest stopień z całym wskaźnikiem

Pod względem stopni mogą występować nie tylko liczby naturalne, ale ogólnie wszelkie wartości całkowite, w tym ujemne i zerowe, ponieważ one również należą do zbioru liczb całkowitych.

Stopień liczby z dodatnią liczbą całkowitą może być wyświetlany jako formuła :.

Ponadto n oznacza dowolną dodatnią liczbę całkowitą.

Rozumiemy pojęcie zero stopni. Aby to zrobić, używamy podejścia, które bierze pod uwagę właściwość konkretnej mocy z równymi podstawami. Jest sformułowany w następujący sposób:

Równość a: n = m - n jest prawdziwa w warunkach: m i n są liczbami naturalnymi, m n, a ≠ 0.

Ten ostatni warunek jest ważny, ponieważ pozwala uniknąć dzielenia przez zero. Jeśli wartości m i n są równe, otrzymamy następujący wynik: a n: a n = a n - n = a 0

Ale jednocześnie n: a n = 1 jest ilorazem równych liczb a i a. Okazuje się, że moc zerowa dowolnej liczby niezerowej wynosi jeden.

Jednak ten dowód nie ma zastosowania do poziomu zero do zera. Do tego potrzebujemy innej własności stopni - własności produktów stopni o równych podstawach. Wygląda to tak: a m · a n = a m + n.

Jeśli n wynosi 0, wówczas m · a 0 = a m (ta równość również dowodzi, że a = 1). Ale jeśli i jest równe zeru, nasza równość przyjmuje postać 0 m · 0 0 = 0 m, Będzie to prawdą dla każdej naturalnej wartości n, i nie ma znaczenia, jaka wartość stopnia wynosi 0 0, to znaczy, że może być równa dowolnej liczbie i nie wpłynie to na lojalność równości. Dlatego zapis formularza 0 0 nie ma własnego specjalnego znaczenia i nie będziemy go przypisywać.

Jeśli jest to pożądane, łatwo jest sprawdzić, czy 0 = 1 zbiega się z własnością stopnia (a) n = a m · n, pod warunkiem, że podstawa stopnia jest niezerowa. Tak więc stopień dowolnej liczby niezerowej z wykładnikiem zerowym wynosi jeden.

Przeanalizujmy przykład z konkretnymi liczbami: A więc 5 0 to jednostka, (33, 3) 0 = 1, - 4 5 9 0 = 1, a wartość 0 0 nie jest zdefiniowana.

Po zerowym stopniu pozostaje dla nas ustalenie, jaki stopień jest ujemny. Do tego potrzebna jest ta sama własność produktu stopni o równych podstawach, które już wykorzystaliśmy powyżej: a m · a n = a m + n.

Wprowadzamy warunek: m = - n, wtedy a nie powinno być zero. Z tego wynika, że ​​a - n · a n = a - n + n = a 0 = 1. Okazuje się, że liczby n i a - są odwrotnie proporcjonalne.

W rezultacie, a w całym ujemnym stopniu jest to nic innego jak część 1 a n.

Takie sformułowanie potwierdza, że ​​dla stopnia z całym ujemnym indeksem wszystkie te same właściwości co stopień z indeksem naturalnym (pod warunkiem, że podstawa nie jest zerowa) są ważne.

Stopień a z ujemną liczbą całkowitą n można przedstawić jako ułamek 1 a n. Zatem a - n = 1 a n pod warunkiem a ≠ 0 in jest dowolną dodatnią liczbą całkowitą.

Ilustrujemy naszą myśl konkretnymi przykładami:

3 - 2 = 1 3 2, (- 4 2) - 5 = 1 (- 4 2) 5, 11 37 - 1 = 1 11 37 1

W ostatniej części paragrafu postaramy się przedstawić wszystko, co jasno powiedzieliśmy w jednym wzorze:

Stopień a z naturalnym indeksem z wynosi: az = az, e z l oraz z jest liczbą całkowitą l i z jest 0 i z = 0 oraz a ≠ 0, (p p p i z = 0 i a = 0 p o l c u e e 0 0, co oznacza a v a r a c 0 0 n e O p e f i y i) 1 az, e s c i z to cel o r a c j a n a h i s a l a a 0 ( e sl i z - jest liczbą całkowitą z serii i a = 0 bez końca z i 0 z, ego o N a p o d ia e c s i)

Co to jest racjonalny wykładnik?

Mamy do czynienia z przypadkami, gdy liczba całkowita jest w wykładniku. Można jednak podnieść liczbę do potęgi, nawet jeśli liczba ułamkowa znajduje się w jej indeksie. Nazywa się to racjonalnym wykładnikiem. W tym momencie udowodnimy, że ma te same właściwości co inne stopnie.

Jakie są liczby wymierne? Ich zbiór obejmuje zarówno liczby całkowite, jak i ułamkowe, podczas gdy liczby ułamkowe mogą być reprezentowane jako zwykłe ułamki (zarówno dodatnie, jak i ujemne). Formułujemy definicję stopnia a przy ułamkowym wykładniku m / n, gdzie n jest dodatnią liczbą całkowitą, a m jest liczbą całkowitą.

W pewnym stopniu mamy wykładnik cząstkowy a m n. Aby własność stopnia do stopienia się utrzymała, równość a m n n = m n · n = a m musi być prawdziwa.

Biorąc pod uwagę definicję korzenia n-tego stopnia i że m n n = a m, możemy przyjąć warunek a m ​​n = a m n, jeśli m n ma sens przy podanych wartościach m, n i a.

Powyższe właściwości stopnia z liczbą całkowitą będą prawdziwe pod warunkiem m n = m n.

Główny wniosek z naszego rozumowania jest następujący: stopień pewnej liczby a z wykładnikiem cząstkowym m / n jest korzeniem n-tego stopnia od liczby a do stopnia m. Jest to prawdą, jeśli dla danych wartości m, n i a wyrażenie m n zachowuje swoje znaczenie.

Następnie musimy ustalić, jaki rodzaj ograniczeń wartości zmiennych narzuca taki warunek. Istnieją dwa podejścia do rozwiązania tego problemu.

1. Możemy ograniczyć wartość podstawy stopnia: przyjmujemy a, który dla dodatnich wartości m będzie większy lub równy 0, a dla wartości ujemnych, ściśle mniejszy (ponieważ dla m ≤ 0 otrzymujemy 0 m, a ten stopień nie jest zdefiniowany). W takim przypadku określenie stopnia z indeksem ułamkowym będzie następować:

Stopień z wykładnikiem cząstkowym m / n dla pewnej liczby dodatniej a jest n-tym korzeniem podniesionej do potęgi m. W formie wzoru można to przedstawić jako:

Dla stopnia o zerowej podstawie, ta pozycja jest również odpowiednia, ale tylko wtedy, gdy jej indeks jest liczbą dodatnią.

Stopień o zerowej podstawie i ułamkowym dodatnim m / n można wyrazić jako

0 m n = 0 m n = 0 w warunkach całego dodatniego m i naturalnego n.

Przy ujemnym stosunku mn0 stopień nie jest określony, tj. taki zapis nie ma sensu.

Zwróć uwagę na jeden punkt. Ponieważ wprowadziliśmy warunek, że a jest większe lub równe zeru, zrzuciliśmy kilka przypadków.

Wyrażenie m n czasami ma jeszcze sens w przypadku niektórych ujemnych wartości a i m. Tak więc wpisy (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4 są prawidłowe, w których podstawa jest ujemna.

2. Drugim podejściem jest rozważenie oddzielnie korzenia a m n z parzystymi i nieparzystymi wskaźnikami. Wtedy będziemy musieli wprowadzić jeszcze jeden warunek: stopień a, w indeksie którego wartość zredukowana jest warty, jest uważany za stopień a, w indeksie którego jest odpowiadająca mu nieredukowalna frakcja. Później wyjaśnimy, dlaczego ten warunek jest dla nas i dlaczego jest tak ważny. Tak więc, jeśli mamy rekord m-k n · k, możemy go zmniejszyć do m n i uprościć obliczenia.

Jeśli n jest liczbą nieparzystą, a m jest dodatnią, a jest dowolną liczbą nieujemną, wówczas m n ma sens. Warunek nieujemnego a jest konieczny, ponieważ korzeń równej mocy nie jest pobierany z liczby ujemnej. Jeśli wartość m jest dodatnia, wówczas a może być zarówno ujemne, jak i zerowe, ponieważ root nieparzystych można wyodrębnić z dowolnej liczby rzeczywistej.

Połącz wszystkie dane powyżej definicji w jednym rekordzie:

Tutaj m / n oznacza nieredukowalną frakcję, m jest dowolną liczbą całkowitą, a n jest dowolną dodatnią liczbą całkowitą.

Dla każdej zwykłej zredukowanej frakcji m · k n · k, stopień może być zastąpiony przez m n.

Stopień liczby a z nieredukowalnym wskaźnikiem ułamkowym m / n można wyrazić jako mn w następujących przypadkach: - dla dowolnych rzeczywistych a, dodatnich wartości całkowitych m i nieparzystych wartości naturalnych n. Przykład: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

- dla dowolnych niezerowych rzeczywistych a, całkowitych ujemnych wartości m i nieparzystych wartości n, na przykład 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

- dla dowolnych nieujemnych a, całkowitych dodatnich wartości m, a nawet n, na przykład 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

- dla dowolnego dodatniego a, całkowitą ujemną m, a nawet n, na przykład 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3,.

W przypadku innych wartości stopień z wykładnikiem cząstkowym nie jest zdefiniowany. Przykłady takich stopni: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Teraz wyjaśnijmy ważność warunku, który został wymieniony powyżej: dlaczego zastąpić ułamek o zredukowanym indeksie ułamkiem z frakcją nieredukowalną. Gdybyśmy tego nie robili, mielibyśmy takie sytuacje, powiedzmy, 6/10 = 3/5. Wtedy powinno być prawdą (- 1) 6 10 = - 1 3 5, ale - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 i (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1.

Określenie stopnia z indeksem ułamkowym, o którym mówiliśmy wcześniej, jest wygodniejsze do zastosowania niż drugie, dlatego będziemy go dalej używać.

Zatem stopień liczby dodatniej a z współczynnikiem ułamkowym m / n jest zdefiniowany jako 0 mn = 0 mn = 0. W przypadku ujemnego a, wpis m n nie ma sensu. Stopień zerowy dla dodatnich wskaźników ułamkowych m / n definiowany jest jako 0 m n = 0 m n = 0, dla ujemnych wskaźników ułamkowych nie definiujemy stopnia zerowego.

W konkluzjach zwracamy uwagę, że możemy zapisać dowolny indeks ułamkowy zarówno w postaci liczby mieszanej, jak i w postaci ułamka dziesiętnego: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Podczas obliczania lepiej jest zastąpić wykładnik zwykłą częścią, a następnie użyć definicji wykładnika z wykładnikiem cząstkowym. Dla powyższych przykładów otrzymujemy:

5 1, 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Co to jest stopień z niewymiernym i prawidłowym wskaźnikiem

Jakie są prawdziwe liczby? Ich zestaw zawiera zarówno liczby racjonalne, jak i nieracjonalne. Dlatego, aby zrozumieć, czym jest stopień z prawidłowym wskaźnikiem, musimy zdefiniować stopnie z racjonalnymi i nieracjonalnymi wskaźnikami. O racjonalności, o której już wspominaliśmy powyżej. Będziemy zajmować się wskaźnikami irracjonalnymi krok po kroku.

Załóżmy, że mamy liczbę irracjonalną a i sekwencję jej dziesiętnych przybliżeń a 0, a 1, a 2.... Na przykład weź wartość a = 1, 67175331... następnie

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671,..., a 0 = 1, 67, a 1 = 1, 6717, a 2 = 1, 671753...

i tak dalej (same przybliżenia są liczbami wymiernymi).

Sekwencje przybliżenia możemy powiązać sekwencję stopni a, 0, a 1, a 2.... Jeśli przypomnimy sobie, że wcześniej mówiliśmy o podniesieniu liczb do racjonalnego stopnia, możemy sami obliczyć wartości tych stopni.

Weźmy na przykład a = 3, a następnie a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753,... i tak dalej

Kolejność stopni można zredukować do liczby, która będzie wartością stopnia c z podstawą a i indeksem nieracjonalnym a. Podsumowując: stopień o nieracjonalnym indeksie postaci 3 1, 67175331.. można zmniejszyć do liczby 6, 27.

Stopień liczby dodatniej a z niewymiernym wykładnikiem a jest zapisany jako a. Jego wartość jest granicą sekwencji a, 0, a 1, a 2... gdzie 0, a 1, a 2... to kolejne dziesiętne przybliżenia liczby irracjonalnej a. Stopień zero-podstawy można również zdefiniować dla dodatnich wskaźników irracjonalnych, gdzie 0 a = 0 Tak więc 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. A w przypadku ujemnych nie można tego zrobić, ponieważ na przykład wartość 0-5, 0-2 π jest niezdefiniowana. Jednostka podniesiona do dowolnego poziomu irracjonalnego pozostaje na przykład jednostką, a 1 2, 1 5 do 2 i 1-5 będą równe 1.